Data Structures- Space and Time Complexity
Observing the time complexity of different algorithms
• 11139 min read
- Space and Time Complexity
- Constant O(1)
- Linear O(n)
- Quadratic O(n^2)
- Logarithmic O(logn)
- Exponential O(2^n)
- Hacks
Space and Time Complexity
Space complexity refers to the amount of memory used by an algorithm to complete its execution, as a function of the size of the input. The space complexity of an algorithm can be affected by various factors such as the size of the input data, the data structures used in the algorithm, the number and size of temporary variables, and the recursion depth. Time complexity refers to the amount of time required by an algorithm to run as the input size grows. It is usually measured in terms of the "Big O" notation, which describes the upper bound of an algorithm's time complexity.
Why do you think a programmer should care about space and time complexity?
- Space and time complexity is important because it directly impacts the performance and efficiency of programs. Space complexiity is the storage space needed for a program to run, and time complexity is the amount of time it takes for a program to run. If a program uses too much storage, it can has performance issues such as slow execution or even crashing. If a program takes too long to run, it will be inifficient. By understanding space and time complexity, programmers can create faster and more efficient programs that can handle more data, improving user experience and saving resources.
Take a look at our lassen volcano example from the data compression tech talk. The first code block is the original image. In the second code block, change the baseWidth to rescale the image.
from IPython.display import Image, display
from pathlib import Path
# prepares a series of images
def image_data(path=Path("images/"), images=None): # path of static images is defaulted
for image in images:
# File to open
image['filename'] = path / image['file'] # file with path
return images
def image_display(images):
for image in images:
display(Image(filename=image['filename']))
if __name__ == "__main__":
lassen_volcano = image_data(images=[{'source': "Peter Carolin", 'label': "Lassen Volcano", 'file': "lassen-volcano.jpeg"}])
image_display(lassen_volcano)
from IPython.display import HTML, display
from pathlib import Path
from PIL import Image as pilImage
from io import BytesIO
import base64
# prepares a series of images
def image_data(path=Path("images/"), images=None): # path of static images is defaulted
for image in images:
# File to open
image['filename'] = path / image['file'] # file with path
return images
def scale_image(img):
#baseWidth = 625
#baseWidth = 1250
#baseWidth = 2500
#baseWidth = 5000 # see the effect of doubling or halfing the baseWidth
baseWidth = 10000
#baseWidth = 20000
#baseWidth = 40000
scalePercent = (baseWidth/float(img.size[0]))
scaleHeight = int((float(img.size[1])*float(scalePercent)))
scale = (baseWidth, scaleHeight)
return img.resize(scale)
def image_to_base64(img, format):
with BytesIO() as buffer:
img.save(buffer, format)
return base64.b64encode(buffer.getvalue()).decode()
def image_management(image): # path of static images is defaulted
# Image open return PIL image object
img = pilImage.open(image['filename'])
# Python Image Library operations
image['format'] = img.format
image['mode'] = img.mode
image['size'] = img.size
# Scale the Image
img = scale_image(img)
image['pil'] = img
image['scaled_size'] = img.size
# Scaled HTML
image['html'] = '<img src="data:image/png;base64,%s">' % image_to_base64(image['pil'], image['format'])
if __name__ == "__main__":
# Use numpy to concatenate two arrays
images = image_data(images = [{'source': "Peter Carolin", 'label': "Lassen Volcano", 'file': "lassen-volcano.jpeg"}])
# Display meta data, scaled view, and grey scale for each image
for image in images:
image_management(image)
print("---- meta data -----")
print(image['label'])
print(image['source'])
print(image['format'])
print(image['mode'])
print("Original size: ", image['size'])
print("Scaled size: ", image['scaled_size'])
print("-- original image --")
display(HTML(image['html']))
---- meta data ----- Lassen Volcano Peter Carolin JPEG RGB Original size: (2792, 2094) Scaled size: (10000, 7500) -- original image --
Do you think this is a time complexity or space complexity or both problem?
- When the image base width was scaled to 40000, the image program took very long to execute, and in the end the photo didn't een load. I think it is both a time and space complexity problem. It takes too long to run due to a time complexity problem, not very optimized. In the end, VSCode isn't able todisplay the image due to a space complexity problem because it can't handle too much data.
numbers = list(range(1000))
print(numbers[263])
ncaa_bb_ranks = {1:"Alabama",2:"Houston", 3:"Purdue", 4:"Kansas"}
#look up a value in a dictionary given a key
print(ncaa_bb_ranks[1])
263 Alabama
Space
This function takes two integer inputs and returns their sum. The function does not create any additional data structures or variables that are dependent on the input size, so its space complexity is constant, or O(1). Regardless of how large the input integers are, the function will always require the same amount of memory to execute.
def sum(a, b):
return a + b;
sum(1,0.4)
1.4
Time
An example of a linear time algorithm is traversing a list or an array. When the size of the list or array increases, the time taken to traverse it also increases linearly with the size. Hence, the time complexity of this operation is O(n), where n is the size of the list or array being traversed.
for i in numbers:
print(i)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999
Space
This function takes a list of elements arr as input and returns a new list with the elements in reverse order. The function creates a new list reversed_arr of the same size as arr to store the reversed elements. The size of reversed_arr depends on the size of the input arr, so the space complexity of this function is O(n). As the input size increases, the amount of memory required to execute the function also increases linearly.
def reverse_list(arr):
n = len(arr)
reversed_arr = [None] * n #create a list of None based on the length or arr
for i in range(n):
reversed_arr[n-i-1] = arr[i] #stores the value at the index of arr to the value at the index of reversed_arr starting at the beginning for arr and end for reversed_arr
return reversed_arr
Time
An example of a quadratic time algorithm is nested loops. When there are two nested loops that both iterate over the same collection, the time taken to complete the algorithm grows quadratically with the size of the collection. Hence, the time complexity of this operation is O(n^2), where n is the size of the collection being iterated over.
for i in numbers:
for j in numbers:
print(i,j)
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999 702 999 703 999 704 999 705 999 706 999 707 999 708 999 709 999 710 999 711 999 712 999 713 999 714 999 715 999 716 999 717 999 718 999 719 999 720 999 721 999 722 999 723 999 724 999 725 999 726 999 727 999 728 999 729 999 730 999 731 999 732 999 733 999 734 999 735 999 736 999 737 999 738 999 739 999 740 999 741 999 742 999 743 999 744 999 745 999 746 999 747 999 748 999 749 999 750 999 751 999 752 999 753 999 754 999 755 999 756 999 757 999 758 999 759 999 760 999 761 999 762 999 763 999 764 999 765 999 766 999 767 999 768 999 769 999 770 999 771 999 772 999 773 999 774 999 775 999 776 999 777 999 778 999 779 999 780 999 781 999 782 999 783 999 784 999 785 999 786 999 787 999 788 999 789 999 790 999 791 999 792 999 793 999 794 999 795 999 796 999 797 999 798 999 799 999 800 999 801 999 802 999 803 999 804 999 805 999 806 999 807 999 808 999 809 999 810 999 811 999 812 999 813 999 814 999 815 999 816 999 817 999 818 999 819 999 820 999 821 999 822 999 823 999 824 999 825 999 826 999 827 999 828 999 829 999 830 999 831 999 832 999 833 999 834 999 835 999 836 999 837 999 838 999 839 999 840 999 841 999 842 999 843 999 844 999 845 999 846 999 847 999 848 999 849 999 850 999 851 999 852 999 853 999 854 999 855 999 856 999 857 999 858 999 859 999 860 999 861 999 862 999 863 999 864 999 865 999 866 999 867 999 868 999 869 999 870 999 871 999 872 999 873 999 874 999 875 999 876 999 877 999 878 999 879 999 880 999 881 999 882 999 883 999 884 999 885 999 886 999 887 999 888 999 889 999 890 999 891 999 892 999 893 999 894 999 895 999 896 999 897 999 898 999 899 999 900 999 901 999 902 999 903 999 904 999 905 999 906 999 907 999 908 999 909 999 910 999 911 999 912 999 913 999 914 999 915 999 916 999 917 999 918 999 919 999 920 999 921 999 922 999 923 999 924 999 925 999 926 999 927 999 928 999 929 999 930 999 931 999 932 999 933 999 934 999 935 999 936 999 937 999 938 999 939 999 940 999 941 999 942 999 943 999 944 999 945 999 946 999 947 999 948 999 949 999 950 999 951 999 952 999 953 999 954 999 955 999 956 999 957 999 958 999 959 999 960 999 961 999 962 999 963 999 964 999 965 999 966 999 967 999 968 999 969 999 970 999 971 999 972 999 973 999 974 999 975 999 976 999 977 999 978 999 979 999 980 999 981 999 982 999 983 999 984 999 985 999 986 999 987 999 988 999 989 999 990 999 991 999 992 999 993 999 994 999 995 999 996 999 997 999 998 999 999
Space
This function takes two matrices matrix1 and matrix2 as input and returns their product as a new matrix. The function creates a new matrix result with dimensions m by n to store the product of the input matrices. The size of result depends on the size of the input matrices, so the space complexity of this function is O(n^2). As the size of the input matrices increases, the amount of memory required to execute the function also increases quadratically.
- Main take away is that a new matrix is created.
def multiply_matrices(matrix1, matrix2):
m = len(matrix1)
n = len(matrix2[0])
result = [[0] * n] * m #this creates the new matrix based on the size of matrix 1 and 2
for i in range(m):
for j in range(n):
for k in range(len(matrix2)):
result[i][j] += matrix1[i][k] * matrix2[k][j]
return result
Time
An example of a log time algorithm is binary search. Binary search is an algorithm that searches for a specific element in a sorted list by repeatedly dividing the search interval in half. As a result, the time taken to complete the search grows logarithmically with the size of the list. Hence, the time complexity of this operation is O(log n), where n is the size of the list being searched.
def binary_search(arr, low, high, target):
while low <= high:
mid = (low + high) // 2 #integer division
if arr[mid] == target:
return mid
elif arr[mid] < target:
low = mid + 1
else:
high = mid - 1
target = 263
result = binary_search(numbers, 0, len(numbers) - 1, target)
print(result)
263
Space
The same algorithm above has a O(logn) space complexity. The function takes an array arr, its lower and upper bounds low and high, and a target value target. The function searches for target within the bounds of arr by recursively dividing the search space in half until the target is found or the search space is empty. The function does not create any new data structures that depend on the size of arr. Instead, the function uses the call stack to keep track of the recursive calls. Since the maximum depth of the recursive calls is O(logn), where n is the size of arr, the space complexity of this function is O(logn). As the size of arr increases, the amount of memory required to execute the function grows logarithmically.
Time
An example of an O(2^n) algorithm is the recursive implementation of the Fibonacci sequence. The Fibonacci sequence is a series of numbers where each number is the sum of the two preceding ones, starting from 0 and 1. The recursive implementation of the Fibonacci sequence calculates each number by recursively calling itself with the two preceding numbers until it reaches the base case (i.e., the first or second number in the sequence). The algorithm takes O(2^n) time in the worst case because it has to calculate each number in the sequence by making two recursive calls.
def fibonacci(n):
if n <= 1:
return n
else:
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
#print(fibonacci(5))
#print(fibonacci(10))
print(fibonacci(20))
6765
Space
This function takes a set s as input and generates all possible subsets of s. The function does this by recursively generating the subsets of the set without the first element, and then adding the first element to each of those subsets to generate the subsets that include the first element. The function creates a new list for each recursive call that stores the subsets, and each element in the list is a new list that represents a subset. The number of subsets that can be generated from a set of size n is 2^n, so the space complexity of this function is O(2^n). As the size of the input set increases, the amount of memory required to execute the function grows exponentially.
def generate_subsets(s):
if not s:
return [[]]
subsets = generate_subsets(s[1:])
return [[s[0]] + subset for subset in subsets] + subsets
print(generate_subsets([1,3,5]))
[[1, 3, 5], [1, 3], [1, 5], [1], [3, 5], [3], [5], []]
Using the time library, we are able to see the difference in time it takes to calculate the fibonacci function above.
- Based on what is known about the other time complexities, hypothesize the resulting elapsed time if the function is replaced.
The differences for the resulting elapsed time when functions are replaced are in relation to the type of multiplier it has. For example, with a muliplier of 5, exponential will have a greater time complexity because of it's growth pattern continuously increasing each time. On the other hand, a linear will always be increasing at 5, and a logamarithmic function will continuously decrease.
import time
start_time = time.time()
print(fibonacci(34))
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken:", total_time, "seconds")
start_time = time.time()
print(fibonacci(35))
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken:", total_time, "seconds")
5702887 Time taken: 2.4678330421447754 seconds 9227465 Time taken: 3.8267078399658203 seconds
- Record your findings when testing the time elapsed of the different algorithms.
import time
print("Records when n=1:")
# constant
def constant(n):
start_time = time.time()
print("Linear: ", n*5)
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken for constant:", total_time, "seconds")
#linear
def linear(n):
start_time = time.time()
for i in range(n):
print(i)
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken for linear:", total_time, "seconds")
#quadratic
def quadratic(n):
start_time = time.time()
for i in range(n):
for j in range(n):
print(i,j)
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken for quadratic:", total_time, "seconds")
#logarithmic
def logarithmic(n):
start_time = time.time()
i = 1
while i < n:
print(i)
i *= 2
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken for logarithmic:", total_time, "seconds")
#exponential
def exponential(n):
start_time = time.time()
fibonacci(n)
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken for exponential:", total_time, "seconds")
n=1
#n=10
constant(n)
linear(n)
quadratic(n)
logarithmic(n)
exponential(n)
Records when n=1: Linear: 5 Time taken for constant: 0.00019311904907226562 seconds 0 Time taken for linear: 1.5020370483398438e-05 seconds 0 0 Time taken for quadratic: 2.288818359375e-05 seconds Time taken for logarithmic: 0.0 seconds Time taken for exponential: 2.1457672119140625e-06 seconds
import time
print("Records when n=1:")
# constant
def constant(n):
start_time = time.time()
print("Linear: ", n*5)
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken for constant:", total_time, "seconds")
#linear
def linear(n):
start_time = time.time()
for i in range(n):
print(i)
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken for linear:", total_time, "seconds")
#quadratic
def quadratic(n):
start_time = time.time()
for i in range(n):
for j in range(n):
print(i,j)
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken for quadratic:", total_time, "seconds")
#logarithmic
def logarithmic(n):
start_time = time.time()
i = 1
while i < n:
print(i)
i *= 2
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken for logarithmic:", total_time, "seconds")
#exponential
def exponential(n):
start_time = time.time()
fibonacci(n)
end_time = time.time()
total_time = end_time - start_time
print("Time taken for exponential:", total_time, "seconds")
#n=1
n=10
constant(n)
linear(n)
quadratic(n)
logarithmic(n)
exponential(n)
Records when n=1: Linear: 50 Time taken for constant: 2.7179718017578125e-05 seconds 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Time taken for linear: 7.700920104980469e-05 seconds 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 4 9 5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 6 0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 7 0 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 8 0 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 8 9 9 0 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 Time taken for quadratic: 0.004502773284912109 seconds 1 2 4 8 Time taken for logarithmic: 4.482269287109375e-05 seconds Time taken for exponential: 3.0994415283203125e-05 seconds
Conclusions:
- Logartihmic is the fastest at the beginning, normally gets slower when more values/data being tested
- Exponential also fast at the beginning buts get slower when the number gets larger... exponential time increases a s space increases
- Quadratic takes longer than linear
- Although we will go more in depth later, time complexity is a key concept that relates to the different sorting algorithms. Do some basic research on the different types of sorting algorithms and their time complexity.
Most common sorting algorithms:
Bubble Sort: Time complexity is O(n^2). It repeatedly steps through list to be sorted, compares every adjacent item and swithces them if they are wrong order until it passes through the whole list and it is sorted.
Insertion Sort: Time complexity is O(n^2). It sorts array by repatedly finding minimum element from unsorted part of the array and putting it at beginning.
Merge Sort: Time complexity is O(n*log(n)). It is divide and conquer algorithm, works by dividing input array in half then calls itself for the two halves and then merges the two (now sorted) halves.
Quick Sort: Time complexity is O(n*log(n)) in average case and O(n^2) in worst case. It is also divide and conquer algorithm, sleects pivot element from array and partitions other elements into two sub-arrays (based on greater or less than pivot) then recursively sorts sub-arrays.
Heap Sort: Time complexity is O(n*log(n)). Comparision based sorting algorithm, use binary heap data strucutrre to sort elements... divides input into sorted and unsorted parts and uses iteration to take largest element away form unsorted dregion and putting it in sorte dregion.
Note time complexity can vary, but these are just the most common ones
- Why is time and space complexity important when choosing an algorithm?
Time and space complexity are ipmortant when choosing an algorithm because it plays a part on the efficeincy and effectiveness of the algorithm. A low time complexity means that the amount of time an alogrithm takes to solve a problem will be minimal, and a low space complexity means that alogrithm can effectivly use memory to solve a problem. Both of these affect important factors like waiting time, size able to input into algorithm without it crashing, readability of program, etc.
- Should you always use a constant time algorithm / Should you never use an exponential time algorithm? Explain? No, you shouldn't ALWAYS use a constant time algorithm or never use a exponential time algorithm. Even though constant time alrogithm have low time compelxity, requiring less time to run and exponential time alrogithm normally signifies a high time complexity which is seen as undesirable, in some cases an exponential time algorithm would be better than constant time algorithm. It depends on what they are being used for. For example, some problems can't always be solved iwth constant algorithms and require exponential algorithms to solve. For example, exhaustive key search is one example of an algorithm that takes exponential time. It is the techinque fo trying every possible key in turn until the correct key is identified, a brute forced method. It has a time compelexity of O(2^n).
- What are some general patterns that you noticed to determine each algorithm's time and space complexity? Data structures: we can analyze the data strucutes ued in the algorithm and how they change with the input size. For example, if the alogrihtm uses an array that doubles in size with each addition, we know that it has O(n) space complexity.
Basic operations: We can look for basic operations, as the time complexity of an alogrithm is proportional to the amoutn of basic operations it preforms, such as artimetic, assignments, comparsions, etc.
Nested loops: Keep an eye out of nested loops and see how many times they run based on the input size, as time compleixty is often proportional to the number of iterations. Nested loops normally make high time complexity.
Recursion: We can analyze by looking at the frequency of function calls and the input size for each call, see how it calls themselves multiple times wiht a smaller input size -> it signifies expnonetial time compexity, high time complexity
Complete the Time and Space Complexity analysis questions linked below. Practice
- What is the time, and space complexity of the following code:
Options:
- O(N * M) time, O(1) space
- O(N + M) time, O(N + M) space
- O(N + M) time, O(1) space
- O(N * M) time, O(N + M) space
Correct: I chose answer 3 because there are two for loops, O(N) is the first loop and O(M) would be the second. N and M are indepdent of eachother, meaning they aren't multiplied, nested or anything. So, the time complexity would be just them added togetrher, or O(N+M). The space somplexity would be constant O(1) because the size of the variables doens't rely on the size of the input, so it's just one.
a = 0
b = 0
for i in range(N):
a = a + random()
for i in range(M):
b= b + random()
- What is the time complexity of the following code:
Options:
- O(N)
- O(N*log(N))
- O(N * Sqrt(N))
- O(N*N)
Correct: This would be answer 4, since it is a nested for loop, meaning that tere is a for loop inside of another for loop. So they would not be indepdent of eachother. It is O^2, so the answer is O(N*N) with them being multipled to each other.
a = 0;
for i in range(N):
for j in reversed(range(i,N)):
a = a + i + j;
- What is the time complexity of the following code:
Options:
- O(n)
- O(N log N)
- O(n^2)
- O(n^2Logn)
Incorrect: At first I chose answer three, because I saw the nested for loop. However, the actual answer is 2. In this code, j will keep doubling until it is less than or equal to n. Because it (the "slope") is going less and less, this is logarithmic correlation, so the asnwer would be 2, O(N log N).
k = 0;
for i in range(n//2,n):
for j in range(2,n,pow(2,j)):
k = k + n / 2;
- What does it mean when we say that an algorithm X is asymptotically more efficient than Y?
Options:
- X will always be a better choice for small inputs
- X will always be a better choice for large inputs
- Y will always be a better choice for small inputs
- X will always be a better choice for all inputs
Correct: I think answer 2, X will always be a better choice for large inputs. From math, I know that the larger an X value the lower the Y value for asympototes going to 0 approaching from above, I thought that the lower the Y value would be for large X would be good. After looking at answer, it says "asymptotically" means that X is better than Y if X takes less than than Y for all input sizes n larger than value n0 where n0 is greater than 0, so I think my original thought had the right idea.
- What is the time complexity of the following code:
Options:
- O(N)
- O(Sqrt(N))
- O(N / 2)
- O(log N)
Correct: I chose option 4 O(log N), because I saw that i value kept on getting smaller and smaller as it is being divided down. I know that it is a logmarithmic relationship.
a = 0
i = N
while (i > 0):
a += i
i //= 2
- Which of the following best describes the useful criterion for comparing the efficiency of algorithms?
Options:
- Time
- Memory
- Both of the above
- None of the above
Correct: The answer owuld be both time and memory. Both time and memory complexity is important to take into account for the efficieny of an algorithm, because the efficiency with how long a program takes to run AND if it can actually run or not/how much storage it takes up. Algorithm that takes less time to run and less memory for large input size with no risk of crashing is considered efficient.
- How is time complexity measured?
Options:
- By counting the number of algorithms in an algorithm.
- By counting the number of primitive operations performed by the algorithm on a given input size.
- By counting the size of data input to the algorithm.
- None of the above
Correct: For measuring time complexity you have to consider the number and types of operations such as muliplication or addition, and the input size. Both of these things can greatly impact how long a program takes to run.
- What will be the time complexity of the following code?
Options:
- O(n)
- O(k)
- O(logk n)
- O(logn k)
Incorrect: After ruling out the first and second option because it was only one varibale thing, I didn't know whether option 3 or 4 was correct. In this case, option 3 is correct because it loops k^(n-1) times, which become logarithm logk n after you take the log of it. Here, n is the parameter.
for i in range(n):
i=i*k
- What will be the time complexity of the following code?
Options:
- n
- (n+1)
- n(n-1)
- n(n+1)
Incorrect: At first I thought this should invovle some more multiplicaiton, but it is enough with the n squares so the first one can't be the right answer. But also beacuse the end value is addition, I thought that it would be the last option n(n+1). This isn't the case though, because the outside loop would be running n times, and the inside loop i times, and i is 1 less than n so that is n-1. n(n-1)
value = 0;
for i in range(n):
for j in range(i):
value=value+1
- Algorithm A and B have a worst-case running time of O(n) and O(logn), respectively. Therefore, algorithm B always runs faster than algorithm A.
Options:
- True
- False
Correct: It is false. I don't think it will ALWAYS run faster. It is actually because the big o noation provides asympototic comparson in the runnign times of algorithm, and for example when n<n0 alrogithm A might run faster than algorithm B.